BI-LIN – Lineární algebra

Cíl předmětu

Studenti budou znát teoretické základy algebry a matematické principy lineárních modelů systémů, kde jsou lineární závislosti mezi komponentami. Budou umět základní metody práce s polynomy a lineárními prostory. Budou umět provádět algebraické operace s maticemi a řešit soustavy lineárních rovnic. Budou umět použít tyto matematické postupy při řešení úloh analytické geometrie 2D a 3D prostoru. Na základě těchto matematických základů budou rozumět bezpečnostním kódům.

Program přednášek

  1. Úvod: Definice, věta, důkaz. Typy důkazů.
  2. Operace s množinami: průnik, sjednocení, rozdíl, kartézský součin. Zobrazení, skládaní zobrazení, inverzní zobrazení, bijekce, permutace.
  3. Polynomy, kořeny polynomů, ireducibilní polynomy. Polynomy v R, C, Q. Největší společný dělitel a Euklidův algoritmus. Binární operace a její vlastnosti. Grupa, okruh, těleso. Homomorfizmy (Isomorfizmy). Charakteristika tělesa. Konečná tělesa.
  4. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda.
  5. Lineární prostory, lineární závislost a nezávislost.
  6. Báze, dimenze, souřadnice vektorů v bázi. Transformace souřadnic.
  7. Matice, operace s maticemi.
  8. Determinanty a jejich výpočet.
  9. Inverzní matice a jejich výpočet.
  10. Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení. Rotace, projekce na přímku (rovinu), symetrie vzhledem k přímce (rovině) v R^2 a R^3.
  11. Vlastní čísla a vlastní vektory matice resp. lineárního zobrazení.
  12. Invariantní podprostory. Jordanův tvar.
  13. Bilineární a kvadratické formy. Skalární součin, ortogonalita. Ortogonální doplněk. Euklidovské a unitarní prostory. Lineární zobrazení Eukl., unit. prostorů. Afinní prostor. Afinní transformace. Translace.
  14. Samoopravné kódy.

Program cvičení

  1. Operace s polynomy
  2. Kořeny polynomů. Euklidův algoritmus. Největší společný dělitel.
  3. Soustavy lineárních rovnic, Gaussova eliminační metoda.
  4. Lineární závislost a nezávislost.
  5. Báze, dimenze, souřadnice vektorů v bázi. Transformace souřadnic.
  6. Matice, operace s maticemi.
  7. Determinanty a jejich výpočet.
  8. Inverzní matice a jejich výpočet.
  9. Lineární zobrazení, matice lineárního zobrazení.
  10. Vlastní čísla a vlastní vektory matice.
  11. Jordanův tvar.
  12. Bilineární a kvadratické formy.
  13. Skalární součin, ortogonalita. Afinní transformace. Translace.
  14. Samoopravné kódy.



Poslední změna: 22.4.2009, 20:57